DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

重力による飛び上がれる高さの違い

 今回は他の惑星の地表でジャンプをしたときにどれほど飛べるかについて書いて行きたいと思う。

目次

1. 重力

1.1 重力とは

 重力は天体と天体上にある物体間に働く万有引力を主とした力のことである。万有引力とは質量を有する2物体間に働く力のことであり、物体の質量が大きいほどその力は大きくなる。力は質量と加速度の積であるため、質量が小さいほど同じ力でもより強い加速度がかかり、強く引っ張られるようになる。そのため、片方の質量だけが極端に大きい場合は質量の小さな物体がほぼ一方的に引き寄せられるようになり、それが地球上で働く引力である。

 しかし、重力は万有引力だけかと言うとそうでは無く、地球は自転をしているので遠心力も働き、これは外向きにかかる力であるため、遠心力が強い赤道のほうが重力は小さくなる。そのため、体重を測ると赤道よりも極のほうが若干軽くなる。

 そして、この重力は地表だけではなく上空でもかかり、地球から離れれば離れるほど小さくなっていくが大気圏内では地球の中心との距離に対して地表との距離が非常に小さいため、実質地表と同じだけかかると言っても過言ではない。

 これが重力であり、地球上では多少の違いはあるもののどの地域でもほぼ同じ力がかかっており、その大きさは9.8 m/s^2ほどである。

1.2 初速の違いによる地表からの高さの変化

 地表で飛び跳ねると少し上に行くものの即座に地表に落ちることとなる。この理由は言うまでも無く地球に引っ張られているからであり、その大きさは地球の重力加速度である9.8 m/s^2である。この大きさは1秒間に地表方向に9.8 m/s^2ずつ速度が増すことを意味しており、秒速19.6 m/sで物体を上方向に投げると1秒後には9.8 m/sとなり、2秒後には上空で止まり、その後は地表に向かって速度を増し、4秒後には19.6 m/sで地表に激突する。この様子は以下の図のようになっている。

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 重力加速度が9.8 m/s^2の場合、上空方向を正とおくと重力加速度は-9.8 m/s^2で表される。そして、物体の速度は初速から(9.8×投げ上げてからの時間)を引いたものとなり、地表からの距離は(初速×投げ上げてからの時間)-(4.9×投げ上げてからの時間の二乗)となる。

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 上図は初速を変えた時の地表からの高さを示したものであり、初速が9.8 m/sの時は9.8 mの高さまで飛びあがり、4秒後に地表にぶつかるが19.6 m/sの場合は19.6 mの高さまで上がり、4秒後に地表にぶつかるようになる。このように初速が増せば増すほどより高く飛び上がることが可能であり、より長い時間地表から離れることが出来る。

 そして、初速を増していくとやがて宇宙空間に飛び出せそうであるが重力が常に9.8 m/s^2の場合は当然宇宙空間には出ることはできない。しかし、重力は地表から離れると弱くなっていくため、初速を極端にあげると重力を振り切ることが出来る。けれどもその速度は7.9 km/sと非常に速いため、ロケットでも使わない限り不可能である。

 ここまでは重力について簡潔に書いてきたが次章では他の惑星でジャンプした時にどれほど飛べるかについて書いて行きたいと思う。

2. 他の惑星でジャンプをしたとき

2.1 地球の場合

 初めに地球でジャンプをした場合について書いて行きたいと思う。先ほどの例は初速が大きい場合の例であり、実際にジャンプ力でそこまでの初速を出すことは不可能である。

 垂直飛びの平均値は高校生男子で60 cm, 高校生女子で42 cm程度であるため、男女比が1:1だとすると51 cmぐらいになる。そして、今後はこの数値を用いていきたいと思う。これを先ほどの式に代入すると初速度は3.16 m/s、最高点に達するまでの時間は0.322秒、そして落下までにかかる時間は0.645秒になる。

 つまり、3.16 m/sと比較的速い速度で飛び跳ねても落下するまでにかかる時間は1秒もかからず、それほどまでに地球の重力が大きいことが分かる。

 そのため、地球上で垂直飛びを行っても大して高くは飛ぶことはできないがこれを他の惑星で行った場合はどの様になるのだろうか?

2.2 他の惑星で垂直飛びを行った場合

 垂直飛びの高校生の平均の高さは51 cmであり、この記録を地球上で出すためには初速3.16 m/sで跳ぶ必要がある。そして、これからの計算はこの初速3.16 m/sで考えていきたいと思う。

 太陽系の惑星の重力は以下の様になっている。

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 この中で地球よりも重力加速度が大きい惑星は木星, 海王星, 土星だけであり、意外ではあるが地球よりもはるかに大きい天王星の重力は地球よりも小さく、金星と同程度である。また、火星と木星の重力も同じ程度であるがこれはあくまで表面重力での話であり、質量と惑星の半径に依存するため、万有引力は惑星の質量に比例する。

↓ 参照記事

www.rigelultragiant.com

 初めに火星を例に挙げていきたいと思う。火星の場合は重力加速度が3.71 m/s^2であるため、gの値は3.71 m/s^2となる。これを重力による速度, 及び高さの式に当てはめると以下の様になる。

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この式を変形すると最高点までかかる時間と最高点の高さは以下の様になる。

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これにV0 = 3.16 m/sを代入するとtmaxは0.852 s, xmaxは1.346 mとなるため、地球上では51 cmしか飛べなくても火星で行うと1.346 mも飛ぶことができ、これはドラえもんの身長を若干超えるほどである。また、地表から離れている時間はtmaxの二倍であるため、1.704秒間も飛ぶことができる。

 けれども重力の大きい木星で行った場合はtmaxは0.127 sであるため、0.255秒しか飛ぶことが出来ず、更に20 cm程度しか飛ぶことが出来ない。

 このように重力が小さければ高く飛び上がることが可能であるが反対に大きいと低くしか飛べず、この関係は以下の様になっている。

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この関係式は地表から離れることが出来る時間は初速の速さに比例し、重力の大きさに反比例していることを意味し、飛べる高さは初速の二乗に比例し、重力の大きさに反比例していることが分かる。

 つまり、重力が倍になると飛べる距離も時間も半分になり、反対に重力が半分になると両者とも倍になることを意味している。そして、初速が倍の速さならば倍の時間空中に留まることが出来、4倍もの高さを飛ぶことが可能である。

  そのため、各惑星では地球上では51 cmしか飛べなかった場合の高さは以下の様になっている。

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 以上が地球以外の惑星で垂直飛びを行った時の記録であり、これよりも重力が小さい月で行った時は更に記録が伸びる。

 以上、重力の違いによる飛び上がれる高さについてでした。