DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

素数について 半素数 双子素数

今回は素数について書いて行きたいと思う。

素数とは1とその数自身でしか割り切れない、または約数を持たない数のことであり、素数自体は無限大に存在します。

そして、今年の2017も素数であり、1と2017以外では割り切れません。

では、素数について順を追って書いて行きたいと思う。

 

1. 素数とは

素数とは上にも書いたように1とその数自身でしか割り切れない数のことであり、小さい順から2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, ...の順に続いていき、これは上限は無く、永遠に続いていきます。

また、1は素数ではないと言われているが仮に1を素数だとすると素因数分解をしたときに矛盾が生じるため、1は例外的に素数として扱われない。

素因数分解とはある数を素数の積で表したものであり、素数は素因数分解をすることはできない。

例えば1を素数だとおき、素因数分解をすると1=1×1×1×1×...のように1が延々と続くこととなり、素数は素因数分解することが出来ないことに反するために1は素数ではないと証明できる。

よって素数は1ではなく2から始まることとなり、数が大きくなるごとに素数の密度は小さくなるものの素数が無くなることは決してなく、そして素数には規則は無いともいわれている。

 

また、素数が存在する場所にはばらつきがあり、100~110の間には素数が101, 103, 107, 109と4つも存在するのに対して113を過ぎると次の素数は14上回った127まで存在しない。

他にも191, 193, 197, 199はすべて素数であるが次の20x (xは一桁の数字)代には素数は1つも存在せず、次の素数は211まで現れない。

そして、211以降も素数は少なく、12上回った223まで現れることは無い。

つまり、200~222までは数が22個もあるけれど素数は211しか存在しないこととなる。

 

ここまでは一般的な素数の話であるが次からは素数に関係をした話をしていきたいと思う。

 

 

 

2. 半素数

ここからは半素数についての話をしていきたいと思う。

半素数と聞くと一見何のことなのか分からず素数を半分にした数のように思える。

しかし、そのような数字を定義する価値など全くなく、仮に素数の半分だとしても小数点が現れないものは1しか存在しないことになる。

半素数とは2つの素数が掛け合わさった数のことであり、この2つの素数は同じ数でも可能であるため、半素数の約数の数は3つ,または4つである。

半素数の中で最も小さいものは2×2の4であり、その次に小さいものは2×3の6であり、6は約数を4つ持つ数の中では最小である。

勿論半素数も延々と続くわけではあるが素数との違いは連続するという点である。

素数は2と3以外は隣り合う物は存在せず、その理由は隣り合った数のどちらかは必ず2の倍数となるためであり、倍数が存在する以上その数は素数ではなくなるからである。

しかし、半素数の場合は素因数分解をしたときに2つの数字の積で表される数であるため、隣り合う数でも2つの素数の積同士で掛け合わさった数であれば良いために特に隣り合う数は駄目であるという制限はない。

例えば半素数を小さい順に並べていくと

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 49, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, ...

となっており、33, 34, 35に至っては2連続はおろか3連続にもなっている。

 

個人的な話となるが半素数の名称は半素数よりも「素数」のほうが良いのではと思う。

 

 

 

3. 双子素数

最後に双子素数について書いて行きたいと思う。

素数は先ほども書いたように2と3以外では連続して並ぶことは無く、その理由は連続して並ぶ片方の数が必ず2の倍数となり、素数ではなくなるからである。

しかし、2つ隔てた数の場合はどちらも素数になる可能性も考えられ、この2つ離れた素数の組のことを双子素数と呼ぶ。

最も小さい双子素数は(3,5)であり、これ以降は(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)、(41,43)、(59,61)、(71,73)、(101,103)...のように続く。

ここで(3,5,7)は数字が3つ続いており、三つ子素数(筆者が勝手によんだだけである)のようになっているがこれは5が含まれていることが原因であるためであり、このような三つ子素数がこれから現れることは無い。

また、数字に着目するとかなり間隔があるように見えるが素数が2つおきに続くことはあまりなく、数字が増えれば増えるほど素数の割合はどんどん減少していくために更に間隔は広がるもののこちらも素数と同じように限界はなく、永遠に続いていく。

 

 

 

このように素数に限りは無く、また、素数から派生したものにも限りは無いために素数は永遠であると言え、実際に素数は永遠に続くことが証明されている。

また、素数には規則はないものとされており、仮に素数に規則があることが発見されると世界はおろか宇宙が崩壊するほどのことと言われており、素数と言う数は非常に重要であることが伺える。

以上、素数についての話でした。