DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

倍数の見分け方 2,3,5,7の場合だと

 今回は倍数の見分け方について書いていきたいと思います。ある数字が何の倍数であるかを見分けることが出来ると非常に便利であるため、今日は倍数の見分け方となぜそうなるかについて書いていきたいと思います。

目次

1. 2と5の倍数の見分け方

1.1 2とその階乗の見分け方

 初めに2の倍数の見分け方について書いていくと当然ではあるが1の位の数が2,4,6,8,0のいずれかであるということです。これは考えなくても分かることであり、10は2の倍数であるという事実からこれは分かります。

 つまり、数字ABCDEがあるとするとこれは10(1000A+100B+10C+D)+Eと書き替えることができ、Eの部分が2の倍数だとこの数字は2の倍数になる、要するにEが2,4,6,8,0になれば2の倍数になります。

 ちなみにここでは5桁の数字で考えましたがこの桁数は何桁であっても同じことが言えます。

 そして、4の倍数の時も同じことが考えられ、数字ABCDEを変形すると100(100A+10B+C)+10D+E、つまり、10D+Eが4の倍数になれば数字ABCDEは4の倍数になります。

 分かりやすく書けば、数字の下二桁が4の倍数ならばその数字は4の倍数になるということであります。

 ちなみに8の倍数なら数字の下三桁が8の倍数、16なら数字の下四桁が16の倍数...と言う感じになっていきます。

1.2 5とその階乗の見分け方

 5の倍数も10の約数なので基本的には2の倍数の見分け方と同じであり、1の位の数が5,0のいずれかであると5の倍数であるのです。

 そして、もちろんその階乗の見分け方も2の倍数の時と同じであり、例えば25の倍数の場合、数字ABCDEを用いると100(100A+10B+C)+10D+Eと変形すればわかるように10D+E、つまり下二桁が25の倍数になれば25の倍数になります。 

 更に、それ以上の階乗の場合も2の倍数の時と同じであり、125の倍数なら数字の下三桁が125の倍数、625の倍数なら数字の下四桁が625の倍数...と言う感じになっていきます。

2. 3の倍数の見分け方

 3の倍数の見分け方はかなり有名であり、数字を全て足した時、その数字の合計が3の倍数になった時は3の倍数であります。

 そして、足した後の倍数が大きい場合はさらに足し合わせることで数字をどんどん小さくしていき、最終的な数字が3,6,9になった時に3の倍数であると分かります。

 この理由をこれから証明していきたいと思いますが実はこのことに関しては9の倍数に関しても全く同じであり、むしろ9の倍数の合計値が9の倍数になるという事実のほうが先に出ます。

 また、例によって数字ABCDEFGH(あまり意味は無いが8桁に増やしました)があるとします。この数字を9でまとめると

9(1111111A+111111B+11111C+1111D+111E+11F+G)+(A+B+C+D+E+F+G+H)

となり、当然太字の所は9の倍数である(=3の倍数である)ため、A+B+C+D+E+F+G+Hが3の倍数になればこの数字は3の倍数になります。

 つまり、数字を足し合わせた合計が3の倍数になればその数は3の倍数となり、そして同時に合計値が9の倍数になった時は9の倍数となります。

 また、勿論どのような桁数でもこの法則は成り立ちます。

 このことより、3の倍数と9の倍数の見分け方は同時に発生し、27以上の倍数の見分け方はこの方法ではできません

 また、この結果から1~9までを1つずつ含んだ9桁の数はどのような数であっても9で割ることが可能となります。

3. 7の倍数の見分け方

 最後に7の倍数の見分け方について書いていきたいと思います。7と言う数字は1桁の数の中でも非常に厄介であり、他の数字は見分けやすい2,3,5の倍数のいづれかに対して7だけはこの条件に当てはまらない素数であります。

 正直7は幸運の数と言われますが数字界ではむしろ不幸の数とも取れ、逆に4は見分けやすい、1以外の数で初めて素数ではない、と言う点で幸運の数とも言えます。まあ、13はどのみち不幸の数ですが...

 さて、今回はこの不幸の数?である7の倍数の見分け方について書いていきたいと思います。

 ここで、3桁の数字ABCを持っていきたいと思います。勿論この数を分解するわけですが分解すると7(14A)+2A+10B+Cとなり、これを要約すると下二桁の数と3桁目の数を2倍したものを足すと7の倍数になるということです。

 また、4桁に数を増やすと7(140A+14B)+2(10A+B)+(10C+D)となり、これも要約すると下二桁の数と「上二桁の数を2倍したもの」を足すと7の倍数になるということです。

 ちなみに5桁以上の場合も同じようになるため、7の倍数の見分け方は「下二桁の数」と「それ以上の桁数の数を2倍したもの」を足した時、7の倍数になれば7の倍数である

ということとなります。

 例えば133の場合は2×1+33=35より7の倍数、23093の場合は2×230+93=553, 2×5+53=63より7の倍数となります。

 ちなみに言うまでもありませんがこれらの数を掛け合わせた倍数の見分け方は単純に2つの条件を同時に満たせばよいわけであり、例えば6の倍数の見分け方は

  • 下一桁の数が2,4,6,8,0のいずれかである
  • 数値を全て足し合わせた時に3の倍数になる

の両方を満たしていれば良いわけです。