DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

残り物には福があるのは本当なのか? 実際に検証をしてみると...

 今回はあることわざについて数学的に検証をしていきたいと思います。

そのことわざとは「残り物には福がある」であり、最後に引いたほうが良いという意味です。

では実際に書いていきたいと思います。

 

1. 当たりが一つの場合

初めに当たりが1つだけあった場合について書いていきたいと思います。

そして、クジの数は5つと置き、引く人数も5人(A~E)とします。

 

初めにAがクジを引きます。

その時の当たりは1つだけなので当然当たる確率は5分の1になるので後に引いたほうが良さそうに一見見えますが...

 

ではここでAが外れたと仮定をして、次にBがクジを引きます。

当然ではあるがクジの数は4つなので当たる確率も4分の1となり、先ほどのAの当たる確率よりも高くなります。

つまり、BよりもAのほうが不利な状況に一見見えますが実はそうではなく、これはAが外れた場合を仮定しているのでAが外れる確率、つまり5分の4を前提としているために実際にAが当たる確率は

(Aが外れる確率)×(Bが当たる確率)=(4/5)×(1/4)=1/5となり、

Aが当たる確率と変わらなくなります。

 

そして、CがAとBが外れた後にクジを引いて当たる確率は1/3であるがこれもA,B共に外れたことを仮定しているので実際の確率は

(Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)×(Cが当たる確率)=(4/5)×(3/4)×(1/3)=1/5となるので

結局は1/5となります。

 

もう言うまでもありませんが更にA,B,Cが外れてDが引きあたる確率、そして、A~Dの全員が外れてEが当たる確率も結局は5分の1となり、計算式上は

(D) (Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)×(Cが外れる確率)×(Dが当たる確率)

   =(4/5)×(3/4)×(2/3)×(1/2)=1/5

(E)  (Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)×(Cが外れる確率)×(Dが外れる確率)×(Eが当たる確率)

   =(4/5)×(3/4)×(2/3)×(1/2)×1=1/5

となり、結局はどの順番で引いても当たる確率は変わらないのです。

 

一見最初に引くと当たる確率が低いので、後のほうが良さそうに見え、

後のほうになったらなったで引いてみると前の人がいつ当てるか分からないプレッシャーに襲われるので真ん中が良さそうに見えるが実際にはどの位置で引いても当たる確率は変わらないので残り物に福があるということわざはあまりあてにならないことが分かります。

まあ、極端に間違っているわけでもありませんが...

 

 

 

2. 当たりが複数ある場合

ここまでは当たりが1つだけの場合を仮定したがもし当たりが複数あったらどうなるかも書いていきたいと思います。

 

ここでの例は6個のクジの中で当たりクジが2つある場合を仮定します。

 

初めにAがクジを引くと当然ではあるが当たる確率は6分の2となります。

 

そしてBが当たる確率は(Aが外れる確率)×(Bが当たる確率)...

とはならずに結構複雑な式になります。

何故かというと先ほどは1つでも当たるともう当たりは無いのでそこで検証が終了したが今回は当たりが複数あるのでたとえ一回当たりが出ても検証を続けなければならないからです。

 

つまり、Bの当たる確率は

(Aが外れる確率)×(Bが当たる確率)+(Aが当たる確率)×(Bが当たる確率)

になります。

 

では、実際に計算をしてみると

(4/6)×(2/5)+(2/6)×(1/5)=(4/15)+(1/15)=1/3となり、

結局はAの当たる確率と等しくなります。

 

そして、Cの当たる確率は

(Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)+(Cが当たる確率)

+(Aが当たる確率)×(Bが外れる確率)+(Cが当たる確率)

+(Aが外れる確率)×(Bが当たる確率)+(Cが当たる確率)

=(4/6)×(3/5)×(2/4)+(2/6)×(4/5)×(1/4)+(4/6)×(2/5)×(1/4)

=(1/5)+(1/15)+(1/15)=1/3

となるためにやはりA,Bの当たる確率と等しくなります

 

まあ、するまでもありませんがDの当たる確率は

(Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)+(Cが外れる確率)×(Dが当たる確率)

+(Aが当たる確率)×(Bが外れる確率)+(Cが外れる確率)×(Dが当たる確率)

+(Aが外れる確率)×(Bが当たる確率)+(Cが外れる確率)×(Dが当たる確率)

+(Aが外れる確率)×(Bが外れる確率)+(Cが当たる確率)×(Dが当たる確率)

=(4/6)×(3/5)×(2/4)×(2/3)+(2/6)×(4/5)×(3/4)×(1/3)

+(4/6)×(2/5)×(3/4)×(1/3)+(4/6)×(3/5)×(2/4)×(1/3)

=(48/360)+(24/360)+(24/360)+(24/460)

=1/3

となります。

 

ここまでくると分かると思いますがEの当たる確率も1/3であり、当然ではあるがFの当たる確率も1/3となります。

 

つまり、どこを取っても当たる確率は変わらず、順番には全く影響しないことが分かります。

たとえ、100個のクジのなかで当たりが37個の場合の時も当たる確率はどの順番でも37/100になるわけです。

 

 

結論から言うと「残り物には福がある」と言うことわざは間違ってはいるが後に引いても特に悪いわけではないので完全に否定できるわけではありません

まあ、先に引いていつ当たりを引かれるかのプレッシャーを味わいたくないタイプだと先に引き、みんなが外れを引いた後に安心して当たりを引きたいタイプの場合は後に引いたほうがいいと思いますが...