DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

微分積分の本当の意味とは 実は位置エネルギーmghは間違っている

 

 

 今回は数学系のようにも思えるが微分積分について書いて行きたいと思う。

目次

1. 微分は傾き

 微分が傾きを表していることはかなり有名であり、数学というよりもむしろ物理学で多用されている。そして、実際に力学で多用されており、力学には位置、速度、加速度が頻繁に出てきます。特に加速度があるということは力が働いていることを意味しており、物理学では非常に重要な値となっている。

 そして、加速度とは文字通り単位時間当たり(大体は1秒当たり)に速度がどれほど変化したかを示す物理量であり、速度は単位時間当たりの位置の変化量を示している。

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 ここで加速度の話がすんだところで今度は微分の説明に入っていきたいと思う。

 微分は微小の間での変化量のことを示しているため、ある一点での変化量を知るときに非常に便利であり、普通の計算では算出できない問題でも解決できる場合もある。

 微分の定理は以下の通りである。

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 微分は以上の様な定義となっているため、微分を用いることで一点での速度や加速度を求めることができ、位置を時間で微分したものが速度、速度を時間で微分したものが加速度となる。そして、よく時速~キロと言う単語を聞くがあれも一点での速度を示しているものである。

 しかし、微分が真に役立つのは位置の関数に時間が含まれている時であり、この関数を時間で微分することで速度、加速度の関数を求めることができる。

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2. 積分は面積、そして本当のエネルギーは

 積分の操作は微分の逆をすればよいがその意味合いは関数に囲まれた箇所の面積を求めるということである。

 物理で良く出てくる仕事という言葉があるが仕事というのは力と距離に関係しており、力の関数と距離の積に相当する。

 要するに力の関数を距離で積分した値こそが仕事であると言える。

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 ここで積分と言う物は関数y=f(x)とx軸に囲まれた面積のことであり、仕事の時の力は上図のf(x)の相当し、移動距離はxに相当する。

 ここまでは積分の説明を簡単に行なってきたが次は重力加速度について書いていきたいと思う。重力加速度は9.8 m/s^2で有名であるがあれはあくまで地上での重力加速度であり、高さを考慮する位置エネルギーmghは正確には正しくない。

 これは何度も書いているように重力加速度は地球と地球上の物体の万有引力によって決まっているからであり、このことを考慮すると重力加速度はGM/r^2距離に影響する。この距離とは地球の中心との距離であり、地上は地球の中心との距離が6,378,000mなので、rは6,378,000mと換算される。そして、この時のGM/r^2の値が約9.8 m/s^2となるので重力加速度は地上では9.8 m/s^2となる。

 しかし、国際宇宙ステーション(上空400㎞)での重力加速度は8.676 m/s^2程度であり、9.8と比べるとだいぶ小さくなっており、国際宇宙ステーションの位置エネルギーはmghよりも小さいことが分かる。

 ここで、正確な位置エネルギーを求めるには積分が必要であります。

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 この時に計算しやすいように基準を定めるが無限遠の場合だと力が0になるので無限遠を基準にすることが一般的である。また、仕事は力に逆らって動かした時に正となるので無限遠を基準にしたときは仕事が0を超えることは無く、常に負の値となる。

 それを考慮して仕事を求めると...

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このようになり、これだと無限遠を基準とした位置エネルギーとなってしまうため、地表を基準としたエネルギーを求めると

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重力加速度が一定の時と比べて相当複雑な式となり、高さが1メートルの時には誤差は0に近いものの400 ㎞ともなるとかなり誤差が生じ、正しい時と比較して約6.27%ほど大きくなってしまう。ちなみに重力加速度が一定の時の大きさ9.7981は万有引力の式のrを6,378㎞としたときの値を載せている。

 更にここでは位置エネルギーと書いたがエネルギーは仕事と等価であり、エネルギーの変化は仕事に等しい。

 このように積分を用いることで正確な位置エネルギーを求めることができ、積分は物理学で大いに役立っていることが分かる。

 以上、微分積分と重力についてでした。