DS930810のブログ

主に科学系の雑学や解説を書いていきますがたまに科学以外の雑学も書いていきたいと思います。

微分積分の本当の意味とは 実は位置エネルギーmghは間違っている

最近ネタが思いつかないので理数系の記事ばっかり書いていて申し訳ありません。

そして、今回も重力に関する話が出てきます(泣)...

 

それはさておき高校の時などに微分積分を習ったと思いますがあれは単に対になっているのではなく、重量な意味があります。

今回はそのことについて書いていきたいと思います。

 

1. 微分は傾き

微分と言う物は傾きを表していることはかなり有名で数学というよりもむしろ物理学で多用されています。

実際に多用されている例としては力学であり、力学には位置、速度、加速度が頻繁に出てきます。

特に加速度があるということは力が働いていることを意味しており、物理学では非常に重要な値です。

そして、加速度とは文字通り単位時間当たり(大体は1秒当たり)に速度がどれほど変化したかを示す物理量であります。

 また、速度は単位時間当たりの位置の変化量を示しています。

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まあ、こうゆうことです。

 

 

加速度の話がすんだところで今度は微分の説明に入っていきたいと思います。

微分と言う物は微小の間での変化量のことを示します。つまり、ある一点での変化量を知るときに非常に便利であり、普通の計算では成しえないこともできます。

微分の定理は下のように表わされます。

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つまり微分を用いることで一点での速度や加速度を求めることができ、位置を時間で微分したものが速度、速度を時間で微分したものが加速度となります。

よく時速~キロと言う単語を聞きますがあれも一点での速度を示しております。

しかし、微分が真に役立つのは位置の関数に時間が含まれていることであり、この関数を時間で微分することで速度、加速度の関数を求めることができます。

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今のが微分ですが今度は積分について書いていきたいと思います。

 

 

 

2. 積分は面積、そして本当のエネルギーは

積分の操作は微分の逆をすればよいのですがその意味合いは関数に囲まれた箇所の面積を求めるということです。

物理で良く出てくる仕事という言葉がありますが仕事というのは力と距離に関係しており、力の関数と距離の積に相当します。

要するに力の関数を距離で積分した値こそが仕事と言えます。

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ここで積分と言う物は関数y=f(x)とx軸に囲まれた面積のことであり、仕事の時の力は上図のf(x)の相当し、移動距離はxに相当します。

 

 

ここまでは積分の説明を簡単に行いましたが次は重力加速度について書いていきたいと思います。

重力加速度は9.8 m/s2で有名ですがあれはあくまで地上での重力加速度であり、高さを考慮する位置エネルギーmghは正確には正しくありません。

何度も書いているように重力加速度は地球と地球上の物体の万有引力によって決まっており、このことを考慮すると重力加速度はGM/r2距離に影響します。

この距離とは地球の中心との距離であり、地上は地球の中心との距離が6,378,000mなので、rは6,378,000mと換算されます。

そして、この時のGM/r2の値が約9.8 m/s2となるので重力加速度はこのようになっています。

しかし、国際宇宙ステーション(上空400㎞)での重力加速度は8.676 m/s2程度であり、9.8と比べるとだいぶ小さくなっており、国際宇宙ステーション位置エネルギーはmghよりも小さいことが分かります。

ここで、正確な位置エネルギーを求めるには積分が必要であります。

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この時に計算しやすいように基準を定めるが無限遠の場合だと力が0になるので無限遠を基準にします。また、仕事という物は力に逆らって動かした時に正となるので無限遠を基準にしたときは仕事が0を超えることは無く、常に負の値になります。

 

それを考慮して仕事を求めると...

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このようになります。これだと無限遠を基準とした位置エネルギーとなってしまうため、地表を基準としたエネルギーを求めると

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重力加速度が一定の時と比べて相当複雑な式となり、高さが1メートルの時には誤差は0に近いものの400㎞ともなるとかなり誤差が生じ、正しい時と比較して約6.27%ほど大きくなってしまいます。

ちなみに重力加速度が一定の時の大きさ9.7981は万有引力の式のrを6,378㎞としたときの値を載せています。

 

更にここでは位置エネルギーと書きましたがエネルギーは仕事と等価であり、エネルギーの変化は仕事に等しいです。

 

 

このように積分を用いることで正確な位置エネルギーを求めることができ、積分は物理学で大いに役立っていることが分かります。