DS930810のブログ

筆者は自然や自然現象に関心が相当あるので自然に関する記事(天文, 地理, 生物)を書いていきたいと思います。かつては1日2記事を適当な時間に投稿していましたが今のところは午後6時に1記事投稿する形にしています。

実は10000分の1で当たるくじを10000回引いても当たる確率は3分の2を超えない?

今回の記事は確率について書きたいと思います。

ご存知の通り、確率とはある事象がどれぐらいの割合で起こるかであり、様々な場面で用いられています。

 

1. 確率と期待値

 確率は上記のように書いたことであるが期待値とは何なんでしょうか?

ここで例を挙げますとさいころがあり、1~6までの目があります。

そしてその目が出る確率はどれも6分の1だとします。

では、さいころを振った時に出る目の数は1回当たりどれぐらいになるでしょうか?

 

その1回あたりに出る数値のことを期待値と言い、さいころの場合だと目の数にその目が出る確率をかけたものになります。

要約すると起こりうる平均の値のことです。

確率と言うのは合計すると1になるために1回あたりにどれぐらいの数字が出るのかが分かります。

 

ここでさいころの期待値を求めてみると

1×(1/6)+2×(1/6)+3×(1/6)+4×(1/6)+5×(1/6)+6×(1/6)=3.5

つまり、さいころの期待値は3.5となります。

 

まあ、これは当然のことだが宝くじの期待値が宝くじの購入額よりも低いことはご存知でしょうか?

実は宝くじの期待値と言うのは大体宝くじの購入金額の半分程度であり、宝くじを全て買うと確実に1等が当選するが得をすることは決してなく、確実に損をします。

当然、期待値が宝くじの購入金額を超えてしまうと宝くじの発売元が損をするだけであり、もしそうだとしたら宝くじを全部購入する人が殺到すると思います。

実際には宝くじは全国で発売されているために旅費がかさむうえにそもそも全員そんな考えになるから独占することはまず不可能だが...

まあ、宝くじは1等が当たることを楽しみにするという夢を売っていると考え、適度に楽しんだほうがいいと思います。

買いすぎると文字通り損をしますので...

 

ちなみに宝くじを決して否定しているわけではありません。

販売側も宝くじを全て売ることなんて不可能ですから。

 

そういえば売れ残った宝くじにはずれの割合が多くて期待値が宝くじの購入金額を超えたらどうなるのだろうか?

 

まあ、期待値のほうはあくまでサブだからこれ以上は多く書かず、本題に入っていきたいと思います。

 

 

 

2. 確率の罠

21年前に発売された超人気ゲームソフト、ポケモンには金銀バージョンから色違いと言うシステムが導入されました。

その色違いの確率は極めて低く、現在のサン・ムーンバージョンでは4,096分の1に設定されています。

ここで、もし4,096回ポケモンに遭遇したら色違いが出てくるのではないかと考えたくなりますね?

残念なことに実際はそうではなく、確率にして63.216547...%にしかすぎず、3分の2すら下回っております。

これはどういうことかと言いますとここで起こる確率とは確率が累積される、即ち4,096分の1が4,096回起こったら1になり、確実に起こる...わけではなく、

連続して起こらない確率が1から引かれるだけであり、理論上は無限に起こらないことだって考えられます。 

要するに式にするとこうなります。

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要するに色違いが1回でも出ればこの63.2...%に入るわけです。

 

ちなみに回数を4,096回以上やると...

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このような感じになり、このグラフは10,000回まで行った回数を示しています。

グラフを見れば分かる通り、回数を重ねていけば確率は上がりづらくなっております。

2,839回目に半分の確立になり、6,592回目には8割を超えます。

そして、10,000回目には91.2988%となり、9割は越えていますがまだ1回も当たらない確率が若干ではあるがあります。

まあ、回数を更に増やせば限りなく100%に近づくがそれでも出ない時は出ません。

確率的に天文学的低さとなるが...

 

要するに4,096分の1の確率のことを4,096回やっても3分の1以上は起こらないが半分以上の人は2,839回目までには起こります。

 

結論: ポケモンの色違いは4,096回やらずとも2,839回やれば半分の確率で出現する。

 

 

 

3. N分の1で起こる確率をN回行うと...

 ここで気になるのはもし、N分の1で起こる確率のことをN回行うとどうなるかということではないでしょうか?

先ほどは4,096分の1であったがこの4,096の数値を大きくしていきたいと思います。

 

まあ、その前に小さい数値からやっていきたいと思います。

2分の1を2回行うと1回以上出る確率は75%となります。

3分の1の場合だと70.37%

4分の1の場合だと68.36%

10分の1の場合だと65.13%

100分の1の場合だと63.40%

1,000分の1の場合だと63.23%

 

何かある数字に近づいていっているように見えなくもないでしょうか?

実はその通りであり、これを10,000までグラフ化すると...

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相当早い段階からある数に近づいていっていることが分かります。

その数と言うのは1-(1/e)と言う数であり、ここでのeと言うのはネイピア数と言う数学界ではπと並ぶほど極めて重要な数であり、e=2,7182818284...となっております。

つまり、1-(1/e)=0.632120558...と言う確率に近づいていることになります。

 

何故このようになるかと言いますと極限定理からであり、Nが無限に近づくと

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1回も起こらない確率が1/eとなるが故に1回以上起こる確率が1-(1/e)となるのです。

 

故に10000分の1で当たるくじを10000回引いても1回以上当たる確率は1-(1/e)に限りなく近づいてその数字が63.212パーセント程度のために3分の2も超えないのです。